Các tập lồi Tập_lồi

Tập lồi.Tập không lồi (lõm).

Giả sử C là một tập trong một không gian vector thực hay phức. C được gọi là lồi nếu với mọi x và y thuộc C và với mọi t trong khoảng[0,1], điểm

(1 − t) x + t y

cũng thuộc C. Nói cách khác, mọi điểm trên đoạn thẳng nối x và y đều thuộc C. Điều này cũng dẫn đến kết luận: tập lồi trong không gian véc-tơ tô-pô thì liên thông, thậm chí là đơn liên.

Tập C được gọi là lồi tuyệt đối nếu nó lồi và cân bằng[cần dẫn nguồn].

Tập con lồi của R (tập số thực) chẳng qua là các khoảng của R. Một vài ví dụ về tập con lồi trong không gian Euclide 2 chiều là các đa giác đều và các vật thể có chiều rộng hằng số. Một vài ví dụ về tập con lồi trong không gian Euclide 3 chiều là các khối Archimede và các khối Platon. Các khối Kepler-Poinsot là ví dụ về các tập không lồi.

Tính chất của tập lồi

Giả sử S {\displaystyle S} là một tập lồi, u 1 , u 2 , … , u r {\displaystyle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}} là các điểm thuộc S {\displaystyle S} , và λ 1 , λ 2 , … , λ r {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}} là các số không âm bất kỳ sao cho ∑ k = 1 r λ = 1 {\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{r}\lambda =1} , thì tổ hợp lồi ∑ k = 1 r λ k u k {\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}} cũng thuộc S {\displaystyle S} .

Giao của một số bất kỳ tập lồi cũng là một tập lồi, vì vậy tất cả các tập con lồi của một không gian vectơ tạo nên một lưới đầy đủ. Điều này cũng có nghĩa là bất kỳ một tập con A nào của không gian vectơ cũng có thể được chứa trong một tập lồi nhỏ nhất (gọi là bao lồi của A), mà tập lồi này cũng chính là giao của tất cả các tập lồi chứa A.